柱面方程,锥面被柱面所截的图形面积？

对于z=f(x,y),曲面面积为

A=∫∫D dA=∫∫D √[1+(əf/əx)²+(əf/əy)²]dxdy

锥面z=√(x²+y²)被圆柱面x²+y²=2x所割

则积分区域D为柱面方程：0≤x≤2,-√(2x-x²)≤y≤√(2x-x²)

化为极坐标为：0≤θ≤2π,0≤r≤2cosθ

锥面方程为：z=r；柱面方程为：r=2cosθ

əf/əx=x/r=cosθ,əf/əy=y/r=sinθ

(əf/əx)²+(əf/əy)²=cos²θ+sin²θ=1

∴A=∫∫D √[1+(əf/əx)²+(əf/əy)²]dxdy

=∫∫D √[1+1] rdrdθ

=√2∫[∫rdr]dθ=√2∫[r^2/2]dθ=√2∫[2cos²θ]dθ=√2∫[1+cos2θ]dθ

=√2/2∫[1+cos2θ]d(2θ)=√2/2[(2θ+sin2θ)]=√2/2[4π-0]=2√2π